<T->
          Matemtica e realidade
          9 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Oitava Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4442
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1069-4
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
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<p>          
                               I
<F->
Sumrio

Oitava Parte

Unidade 8 -- 
  Complementos
Captulo 27- Relaes 
  mtricas em um tringulo 
  qualquer :::::::::::::::: 859
Lei dos cossenos ::::::::: 860
Classificao de um 
  tringulo quanto aos 
  ngulos ::::::::::::::::: 871
Leis dos senos ::::::::::: 875
Captulo 28- Relaes 
  mtricas na 
  circunferncia :::::::::: 881
Relao entre cordas ::::: 881
Relao entre secantes ::: 882
Relao entre secante e 
  tangente :::::::::::::::: 884
Captulo 29- Outros 
  produtos notveis ::::::: 892
Cubo da soma ou diferena 
  de dois termos :::::::::: 892
<p>
Quadrado da soma de trs 
  termos :::::::::::::::::: 895
Soma ou diferena de dois 
  cubos ::::::::::::::::::: 900
<309>
<T mat. realidade 9>
<t+859> 
<R+>
<F->
Unidade 8 -- Complementos

Captulos:
27- Relaes mtricas em um tringulo qualquer
28- Relaes mtricas na 
  circunferncia
29- Outros produtos notveis

Captulo 27- Relaes mtricas em um tringulo qualquer
<F+>
<R->

  Quando um tringulo no  retngulo, nem equiltero, nem issceles, as relaes entre as medidas de seus lados podem ser mais complicadas. 
  H, entretanto, duas relaes mtricas entre lados e ngulos de um tringulo qualquer que resolvem inmeros problemas. Essas relaes so conhecidas por lei dos cossenos e lei dos senos. 
  Alm de serem vlidas para tringulos no especiais, essas relaes tambm valem para trin-
<p>
gulos retngulos, equilteros ou issceles. 

Lei dos cossenos 

  O objetivo da lei dos cossenos  calcular a medida de um lado `(a`) do tringulo quando so conhecidas as medidas dos outros dois lados `(b e c`) e a medida do ngulo `(:A`) que os lados conhecidos formam entre si. 
  Vamos ver como  a lei dos cossenos em trs casos: 
:A  reto, :A  agudo ou :A  obtuso. 
 :A reto.

  B
   v
   l
 c l  
   l  
   l    a
   l     
   l_-    
   v------u
  A  b C
<p> 
  Nesse caso, o tringulo {a{b{c  retngulo e vale a relao de Pitgoras: 
 a2=b2+c2
 :A agudo. 

<F->
                B
                 '
                ike
              i  k e  
            i    k  e    
        c i      k   e        
        i      h k    e a         
      i          k     e        
    i            k      e
  i            _-k       e              
----------------u--------u 
A              D       C
_<::::::::::::::>l<::::::>l
        m            n  
_<:::::::::::::::::::::::>l
             b
<F+>

  {a{b{c  um tringulo com :A agudo.  
<p>
  No tringulo {b{c{d, que  retngulo: 
 a2=n2+h2 `(1`)
  No tringulo {b{a{d, que  retngulo: 
 c2=h2+m2 
 h2=c2-m2 `(2`)
  Temos tambm: 
 b=m+n 
 n=b-m `(3`)
  Levando `(3`) e `(2`) em `(1`): 
 a2=`(b-m`)2+c2-m2 :> a2=
  =b2+c2-2bm 
<311>
  Mas, no tringulo {b{a{d: 
 cos :A=m~c :> m=c. cos :A
  Logo: 
 a2=b2+c2-2bc. cos :A
 :A obtuso.
  {a{b{c  um tringulo com :A obtuso.  
  No tringulo {b{c{d, que  retngulo: 
 a2=n2+h2 `(1`) 
<p>
  No tringulo {b{a{d, que  retngulo: 
 c2=h2+m2 
 h2=c2-m2 `(2`)  
  Temos tambm:  
 n=b+m `(3`)
  Levando `(3`) e `(2`) em `(1`): 
 a2=`(b+m`)2+c2-m2 :> a2=
  =b2+c2+2bm 
  Mas, no tringulo {b{a{d: 
 cos `(180-:A`)=m~c :> m= 
  =c. cos `(180-:A`) 
  Logo: 
 a2=b2+c2+2bc. cos 
  `(180-:A`) 

Aplicaes da lei dos cossenos 

  Vamos ver alguns exemplos de aplicao da lei dos cossenos. 
  Num tringulo, dois lados medem 10 m e 7 m e formam entre si um ngulo de 60. Calcule a medida do terceiro lado. 
<F->
<p>
      B     
       '
       e
        e
 7      e a
          e
  60     e
 -----------u
 A   10   C   
<F+>

  Temos b=10 m, c=7 m e :A=60. Como :A  agudo, vem: 
 a2=b2+c2-2`.b.c. cos :A=
  =102+72-2.10.7. 
  . cos 60=100+49-70=79 
  Ento, a=79 m ^=8,888 m. 
<312>
  Dois lados de um tringulo medem 8 m e 12 m e formam entre si um ngulo de 120. Calcule o terceiro lado. 
  Temos b=8 m, c=12 m e :A=120. 
  Como :A  obtuso, vem: 
<p>
 a2=b2+c2+2`.b.c. 
  . cos `(180-:A`)=82+122+
  +2.8.12. cos `(180-120`)= 
  =64+144+96=304 
  Ento, a=304 m ^=17,436 m. 

Exerccios

<R+>
<F->
1. Num tringulo, dois lados medem 10 m e 7 m e formam entre si um ngulo de 45. Calcule a medida do terceiro lado.  
2. Sabendo que cos 35=
  =0,81.915, calcule *x* na figura.  
<F+>
<R->
<F->

            .
           l
           l
  3 cm    l
           l 4 cm
       35l
       e    l
         e  l
        x  el   
<F+>
<p>
<R+>
3. Determine o valor de *x* nos casos a seguir. 
<R->
<F+>
<F->
a)
<F->

                      *w
                     i _
                   i   _
                 i     _
               i       _  
             i         _    
        6 i           _ x     
         i             _        
       i               _        
     i                 _
   * 30            _-_             
  --------------------#
          33               
<F+>
<F+>
<p>
b)
<F->
<F->
                  '       
                 ik
               i k
          x  i   k 
           i     k      
         i    8 k     
       i         k        
     i      60 k
   *           _-k
  -------.......k 
     5      
<F+>

<F+>
<F+>
<F+>
<R+>
4. Na figura _`[no representada_`], determine o valor de *x* e o permetro do tringulo {a{b{c.  
<F->
:A=120
{a{b=x+1
{b{c=x+2
{c{a=x
<F+>
<R->

<R+>
<F->
5. Adapte a lei dos cossenos para calcular o lado *b* de um tringulo do qual so conhecidos *a*, *c* e :B. 
6. Um tringulo {a{b{c possui :A=15, :C=120, {b{c=6 cm e {a{b=22 cm. Calcule a medida de ^c?{a{c*. 
<313> 
7. Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 3 cm e 6 cm e formam um ngulo de 60. Calcule as diagonais. 
8. Para ir de um ponto A a um ponto B, um automvel percorre uma rua de 510 m. Para ir de B a C, o mesmo veculo percorre uma rua de 340 m. As ruas ^c?{a{b* e ^c?{b{c* formam um ngulo de 70. 
<F+>
<R->

<F->
            C     
            '
            e
             e
  340 m      e
               e
        70    e
      -----------u
      B  510 m A   
<F+>

<R+>
<F->
  Em linha reta, qual  a distncia de A at C? Dado: cos 70=0,34.202. 

9. Determine *x* nas figuras a seguir. 
<F+>
<R->
<F->
a)                        
               ' 
              ike 
            i  k e
          i    k  e
      7 i     k   e 6
       i       k    e 
     i         k     e   
   i         _-kx     e   
  ------------u-------u
        5

b)
  '
  ke
  ke e
  k e  e
  k  e   e 211
  k x e    e
  k    e     e
  k_-   e      e
  k......u-------u
     1      5          
<p>
c)
              .
            ik      
          i  k
      x i    k
      i   3 k
    i      _-k
  ----------k
     5   1,5

d)    i
      i k
     i  k 
  x i   k   9
   i    k_- 
  -----u----u
   2,2
  <::::::::::>
       10
<F+>

<R+>
<F->
10. Calcule o lado *c* de um tringulo {a{b{c no qual :A=120, b=1 cm e a=2c.  
11. Num tringulo issceles, os lados de mesma medida medem 2 cm, e o ngulo formado por eles mede 120. Qual  a rea desse tringulo? 
<p>
12. Quanto mede a diagonal menor do paralelogramo da figura? 
<F+>
<R->

<F->
       ccccccccccccm
                  
                 
                 23 cm
   30        
  ------------      
      6 cm
<F+>

<314>
Classificao de um tringulo 
  quanto aos ngulos 

  J vimos que, quanto s medidas de seus ngulos, um tringulo {a{b{c pode ser: 
<R+>
 acutngulo -- quando :A, :B e :C so agudos; 
 retngulo -- quando :A ou :B ou :C  reto; 
 obtusngulo -- quando :A ou :B ou :C  obtuso. 
<R->
  Como podemos classificar um tringulo quanto aos ngulos quando conhecemos apenas as medidas de seus lados? 
<p>
  Vamos admitir que *a* seja o maior lado do tringulo. Ento: 
 a>=b e a>=c 
  Sabemos que ao maior lado ope-se o maior ngulo. Ento: 
 :A>=:B e :A>=:C 
  Conclumos, portanto, que, se *a*  o maior lado do tringulo {a{b{c, ento :A  o maior ngulo. 
  Nessa situao, temos: 

  Quanto aos ngulos: 
<R+>
 {a{b{c  retngulo somente se :A=90}; 
 {a{b{c  acutngulo somente se :A<90}; 
 {a{b{c  obtusngulo somente se :A>90}. 
<R->

  Quando :A=90}, pelo teorema de Pitgoras, temos: 
 a2=b2+c2 
  Quando :A<90}, pela lei dos cossenos, temos: 
<p>
 a2=b2+c2-2bc. cos :A e, 
  da 2bc. cos :A=b2+c2-
  -a2 e 2bc. cos :A  posi-
  tivo :> b2+c2-a2>0 
  Portanto, a2<b2+c2. 
  Quando :A>90}, pela lei dos cossenos, temos: 
 a2=b2+c2+2bc. 
  . cos `(180-:A`) e, da, 
  2bc. cos `(180-:A`)=
  =a2-b2-c2 e 2bc. 
  . cos `(180-:A`)  positivo 
  :> a2-b2-c2>0 
  Portanto, a2>b2+c2. 
  Podemos ento concluir que: 

  Quanto s medidas dos lados: 
<R+>
 {a{b{c  retngulo somente se a2=b2+c2; 
 {a{b{c  acutngulo somente se a2<b2+c2; 
 {a{b{c  obtusngulo somente se a2>b2+c2. 
<R->
  Sendo *a* a medida do maior lado do tringulo.
<315>
<p>
Exerccios 

<R+>
<F->
13. Classifique, com relao aos ngulos, o tringulo de lados: 
a) 6, 12 e 13 
b) 6, 12 e 10 
c) 13, 5 e 12 
d) 5, 7 e 6  
e) 24, 25 e 7  

14. Um tringulo T tem lados iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. Qual  o cosseno do maior ngulo de T? 
15. Se 8 cm, 10 cm e 12 cm so as medidas dos lados de um tringulo, qual  o cosseno de seu menor ngulo?  
16. Os lados de um tringulo medem a=8 cm, b=7 cm e c=5 cm. Prove que um ngulo desse tri-
  ngulo mede 60. 
17. Os lados de um tringulo medem a=7 cm, b=5 cm e c=3 cm. Prove que um dos ngulos desse tringulo mede 120. 
<F+>
<R->
<p>
Lei dos senos 

  A lei dos senos permite calcular a medida de dois lados `(b e c`) de um tringulo quando so conhecidas as medidas do terceiro lado `(a`) e de dois ngulos. 
   claro que, conhecendo as medidas de dois ngulos e sabendo que a soma das trs medidas  180, calculamos facilmente a medida do ngulo que falta. 
  Em resumo, a lei dos senos torna possvel calcular dois lados quando so dados os trs ngulos e o terceiro lado do tringulo. 
  Vejamos como  a lei dos senos. 
  {a{b{c  um tringulo qualquer, inscrito em uma circunferncia de raio R. Por um dos vrtices do tringulo `(B`), traamos o dimetro correspondente ^c?{b{a* e ligamos A com C. 
<p>
  Sabemos que :A==:A por determinarem na circunferncia a mesma corda ^c?{b{c*. O tringulo 
{a{b{c  retngulo em C por estar inscrito em uma semicircunferncia. 
  Temos, ento: 
 sen :A=a~2R :> a=2R. 
  . sen :A :> a=2R. sen :A  
  :> a~ sen :A=2R
  Analogamente: 
 b~ sen :B=2R e c~ sen :C=
  =2R
  Da conclumos que: 

  a~ sen :A=b~ sen :B=
 =c~ sen :C=2R.
<316>

Aplicao da lei dos senos 

  Vejamos um exemplo: 
  Calcule o lado *b* de um tringulo {a{b{c no qual a=12 cm,
 :B=60 e :C=45, sabendo que sen 75}=0,96.593. 
<p>
  Como :A+:B+:C=180, temos: 
 :A=180-:B-:C=180-60-
  -45=75 
  Da lei dos senos, temos: 
 a~ sen :A=b~ sen :B
  Ento:
 b=?a. sen :B*~ sen :A=
  =?12. sen 60*~ sen 75=
  =?12.0,86.603*~0,96.593^=
  ^=10,7.588 cm
  Portanto, b^=10,7.588 cm. 

Exerccios

<R+>
<F->
18. Num tringulo {a{b{c, sabe-se que a=10 m, :A=80 e :B=40. Calcule *b* e *c*. (Dados: sen 80=0,985 e 
  sen 40=0,643.) 
19. A diagonal maior de um paralelogramo mede 7 m. Os lados do quadriltero medem 5 m e 3 m. Qual  o ngulo *x* que essa diagonal forma com o menor lado 
<p>
  do paralelogramo? Calcule sen *x* e consulte a tabela a seguir.  
<F+>
<R->

  !::::::::::::::
  l x    _ sen x  _
  r::::::w::::::::w
  l 37 _ 0,602 _
  r::::::w::::::::w
  l 38 _ 0,616 _
  r::::::w::::::::w
  l 39 _ 0,629 _
  r::::::w::::::::w
  l 40 _ 0,643 _
  h::::::j::::::::j

<R+>
<F->
20. Num tringulo {a{b{c sabe-se que :A=45, :B=60 e a=5 cm. Calcule o permetro do tringulo. (Dado: sen 75=
  =0,966.) 
21. Num paralelogramo, os lados medem 4 m e 3 m, e a diagonal menor mede 13 m. Calcule o ngulo *x* que essa diagonal forma com o maior lado do qua- 
<p>
  driltero. Calcule sen *x* e consulte a tabela a seguir.  
<F+>
<R->

  !::::::::::::::
  l x    _ sen x  _
  r::::::w::::::::w
  l 45 _ 0,707 _
  r::::::w::::::::w
  l 46 _ 0,719 _
  r::::::w::::::::w
  l 47 _ 0,731 _
  r::::::w::::::::w
  l 48 _ 0,743 _
  h::::::j::::::::j

Desafio

Formiga esperta 

  A figura _`[no representada_`] indica um cubo de aresta a=10 cm. 
  Uma formiga localizada em A deseja buscar comida, localizada em B, caminhando sobre as faces 
<p>
do cubo. Qual  a medida do caminho mais curto que ela pode percorrer de A at B? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<316>

               ::::::::::::::::::::::::
<317>
<p>
Captulo 28- Relaes mtricas 
  na circunferncia

Relao entre cordas

  Em uma circunferncia, consideremos duas cordas, ^c?{a{b* e ^c?{c{d*, que se interceptam num ponto P, como mostra a figura 
 _`[no representada_`]. 
  Observemos os tringulos {p{a{d e {p{c{b. 
  O ngulo :A  inscrito: :A=^:?{b{d*~2. 
  O ngulo :C tambm  inscrito: :C=^:?{b{d*~2. Assim, :A==:C.
  Temos, ento: 
:?{a{p{d*==:?{c{p{b* e :{a==
  ==:{c :> {p{a{d~?'{p{c{b 
  :> {p{a~{p{c={p{d~{p{b 

  `({p{a`).`({p{b`)=`({p{c`).`({p{d`).

  Se duas cordas de uma circunferncia se interceptam, ento o 
<p>
produto das duas partes de uma delas  igual ao produto das duas partes da outra. 

  Veja o exemplo: 
  Na figura _`[no representada_`], vamos determinar a medida da corda ^c?{a{b*. 
  Temos: {p{a=2x, {p{b=x, {p{c=
 =8, {p{d=9. 
  De `({p{a`).`({p{b`)=`({p{c`).`({p{d`), vem:
 2x.x=8.9
 x2=36 
 x=6 
  Sendo {a{b=2x+x=3x, ento {a{b=18. 

Relao entre secantes 

  Observando a figura _`[no representada_`], vamos chamar ^c?{p{x* de segmento secante e ^c?{p{y* de sua parte externa. 
<318>
<p>
  Agora, consideremos dois segmentos secantes ^c?{p{a* e ^c?{p{c*, conduzidos de um ponto P externo  circunferncia, e suas respectivas partes externas ^c?{p{b* e ^c?{p{d*. 
  Notemos os tringulos {p{a{d e {p{c{b _`[no representados_`]. 
  O ngulo :A  inscrito: :A=^:?{b{d*~2. O ngulo :C  inscrito: :C=^:?{b{d*~2. Assim, :A==:C. 
  Temos, ento: 
 :P comum e :A==:C :>
  {p{a{d~?'{p{c{b :>
  {p{a~{p{c={p{d~{p{b 
  
  `({p{a`).`({p{b`)=`({p{c`).`({p{d`).  
 
  Se por um ponto externo a uma circunferncia traarmos dois segmentos secantes, ento o produto de um deles pela sua parte externa  igual ao produto do outro pela sua parte externa. 
<p>
  Vejamos um exemplo: 
  Na figura _`[no representada_`], vamos determinar o valor de *x*. 
  Temos:
 {p{a=x+x=2x, {p{b=x, {p{c=8+12=
  =20, {p{d=8 
  De `({p{a`).`({p{b`)=`({p{c`).`({p{d`),
 vem: 
<F->
2x.x=20.8 
x2=80 
x=45 
<F+>

Relao entre secante e tangente 

  Consideremos um segmento secante ^c?{p{a*, sua parte externa ^c?{p{b* e um segmento ^c?{p{t*, tangente a uma circunferncia. 
  Observemos os tringulos _`[no representados_`] {p{a{t e {p{t{b. 
  O ngulo :A  inscrito: :A=^:?{t{b*~2.
  O ngulo :T do segundo tringulo  um ngulo de segmento: :T=^:?{t{b*~2.
<p>
  Logo, o ngulo :A do primeiro tringulo  congruente ao ngulo :T do segundo tringulo. 
<319>
  Temos, ento: 
 :P comum e A==:T :>
  {p{a{t~?'{p{t{b :>
  {p{a~{p{t={p{t~{p{b 
  
  `({p{a`).`({p{b`)=`({p{t`)2. 

  Se por um ponto externo a uma circunferncia conduzirmos um segmento secante e outro tangente, ento o segmento tangente  a mdia proporcional (ou mdia geomtrica) entre o segmento secante e sua parte externa. 

  Vejamos um exemplo: 
  Na figura _`[no representada_`], vamos determinar o valor de *x*. 
  Temos: {p{a=x+6, {p{b=x, {p{t=4. 
<p>
  Como `({p{a`).`({p{b`)=`({p{t`)2, vem:
 `(x+6`).x=42 :> x2+6x-16=0 
  :> x1=2
 x2=-8 (no convm) 
  Logo, x=2. 

Potncia de um ponto em relao a 
  uma circunferncia 

  Este assunto j foi estudado no 8 ano e, agora, vamos retom-lo com mais detalhes. 
  Quando consideramos uma circunferncia e retas que passam por um ponto P, temos dois casos: 
<R+>
 Ponto P interno  circunferncia _`[no representada_`].
<R->
  Consideremos as cordas ^c?{a{b*, ^c?{c{d*, ^c?{e{f*, ^c?{g{h*, ..., ^c?{m{n*, que se interceptam em um ponto P. Aplicando a relao entre cordas e tomando a corda ^c?{a{b* para comparao, temos: 
<F->
`({p{a`).`({p{b`)=`({p{c`).`({p{d`) 
<p>
`({p{a`).`({p{b`)=`({p{e`).`({p{f`) 
`({p{a`).`({p{b`)=`({p{g`).`({p{h`) 
...
`({p{a`).`({p{b`)=`({p{m`).`({p{n`) 
<F+>

  `({p{a`).`({p{b`)=`({p{c`).`({p{d`)=
 =`({p{e`).`({p{f`)=`({p{g`).`({p{h`)=
 = ... =`({p{m`).`({p{n`)=p (chamado potncia do ponto P em relao  circunferncia). 
<320>

<R+>
 Ponto P externo  circunferncia _`[no representada_`].
<R->
  Consideremos os segmentos secantes ^c?{p{a*, ^c?{p{c*, ^c?{p{e*, ..., ^c?{p{m*, as respectivas partes externas ^c?{p{b*, ^c?{p{d*, ^c?{p{f*, ..., ^c?{p{n* e o segmento tangente ^c?{p{t*. 
  Procedendo de modo anlogo ao feito no primeiro caso, temos: 
<F->
`({p{a`).`({p{b`)=`({p{t`)2 
`({p{c`).`({p{d`)=`({p{t`)2  
`({p{e`).`({p{f`)=`({p{t`)2 
... 
`({p{m`).`({p{n`)=`({p{t`)2 
<F+>

  `({p{a`).`({p{b`)=`({p{c`).`({p{d`)=
 =`({p{e`).`({p{f`)= ... =`({p{m`).
 .`({p{n`)=`({p{t`)2=p (chamado potncia do ponto P em relao  circunferncia).

Exerccios

<R+>
<F->
_`[{para os exerccios 22 e 23, pea orientao ao professor_`]
 
22. Determine o valor de *x* em cada item _`[no representado_`]. 
23. Determine *x* nos casos 
  _`[no representados_`]. 
24. Uma corda de 17 cm  dividida por outra corda em duas partes, uma das quais mede 5 cm. Por sua vez, ela separa nessa outra uma parte de 4 cm. Qual  o comprimento dessa outra corda?  
25. Na figura _`[no representada_`], determine as medidas das cordas ^c?{b{d* e ^c?{c{e*, sa-
<p>
  bendo que {a{b=3x, {a{c=4x-1, {a{d=x+1 e {a{e=x.  

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<321>

26. Duas cordas de uma circunferncia ^c?{r{s* e ^c?{x{y* interceptam-se num ponto P. Se {p{r=4, {p{s=12 e {p{x=3, determine ^c?{p{y*.  

27. Dada a figura _`[no representada_`]:  
a) Qual  a potncia do ponto P em relao  circunferncia?  
b) Determine *x* e *y*.  

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

28. De um ponto P externo a uma circunferncia traamos os segmentos secantes ^c?{p{m* e ^c?{p{s*, determinando as respectivas partes externas ^c?{p{n* e ^c?{p{r*. Sendo {p{m=14 cm, {p{n=6 cm, {p{s=
  =21 cm, calcule ^c?{p{r*. 
29. De um ponto P externo a uma circunferncia traamos um segmento secante ^c?{p{r* de 9 cm e um segmento ^c?{p{t* tangente de 6 cm. Quanto mede a parte externa do segmento secante?  
30. Numa circunferncia, um dimetro que mede 18 cm divide uma corda em dois segmentos que medem 5 cm e 9 cm. Quanto medem os segmentos determinados pela corda no dimetro?  
31. Dois segmentos secantes de 25 cm e 20 cm so traados de um ponto externo a uma circunferncia. A parte externa do primeiro mede 4 cm. Determine a medida da parte externa do segundo.  
32. De um ponto externo a uma circunferncia traamos um segmento secante de 32 cm que determina uma corda de 27,5 cm. Quanto mede o segmento tangente traado do mesmo ponto?  
33. Determine o raio do crculo _`[no representado_`] em cada item. 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

Desafio

O comcio 

  Foi realizado um comcio poltico numa praa semicircular com raio de 130 metros. A praa esteve lotada, calculando-se uma ocupao mdia de quatro pessoas por metro quadrado. Quantas pessoas estiveram presentes ao comcio? 

               ::::::::::::::::::::::::
<322>
<p>
Captulo 29- Outros produtos 
  notveis 

A pea decorativa
  
  Um objeto de decorao oco 
 _`[no representado_`],  feito de acrlico e tem a forma de um cubo de aresta `(10+3`) cm. 
  A parte vazia tambm tem a forma de um cubo de aresta `(10-3`) cm. 
  Qual  o volume de acrlico nessa pea? 
  O volume de acrlico  a diferena entre o volume do cubo maior e o da parte oca: 
 `(10+3`)3-`(10-3`)3 (cen-
  tmetros cbicos) 

Cubo da soma ou diferena de 
  dois termos 

  Vamos calcular `(a+b`)3: 
`(a+b`)3=`(a+b`)`(a+b`)2=`(a+b`)
  `(a2+2ab+b2`)=a3+
  +2a2b+ab2+ba2+2ab2+
<p>
  +b3=a3+3a2b+3ab2+
  +b3 
  Portanto: 

  `(a+b`)3=a3+3a2b+
 +3ab2+b3. 

  Vejamos alguns exemplos do cubo de uma soma: 
 `(x+1`)3=x3+3.x2.1+3.
  .x.12+13=x3+3x2+
  +3x+1. 
 `(3a+2`)3=`(3a`)3+3.
  .`(3a`)2.2+3.`(3a`).22+
  +23=27a3+3.9a2.2+
  +3.3a.4+8=27a3+
  +54a2+36a+8. 

  Trocando *b* por `(-b`), a frmula anterior fica: 
 `[a+`(-b`)`]3=a3+3a2`(-b`)+
  +3a`(-b`)2+`(-b`)3 
  Da: 

  `(a-b`)3=a3-3a2b+
 +3ab2-b3. 

  Mais alguns exemplos: 
<R+>
 `(x-1`)3=x3-3.x2.1+
  +3.x.12-13=x3-3x2+
  +3x-1. 
 `(x-2y`)3=x3-3.x2.2y+
  +3.x.`(2y`)2-`(2y`)3=x3-
  -6x2y+12xy2-8y3. 
<323>
<R->

Exerccios

<R+>
<F->
34. Calcule o volume da pea decorativa do problema proposto no incio do captulo: 
a) desenvolvendo os cubos na expresso `(10+3`)3-
  -`(10-3`)3;  
b) usando calculadora e aproximando com duas casas decimais.  

35. Desenvolva. 
`(x+2`)3; `(x-2`)3 
36. Calcule a+b e a-b, dados 
  a=`(2+1`)3 e b=`(2-1`)3. 
<F+>
<R->
<p> 
Quadrado da soma de trs termos 

  Vamos calcular `(a+b+c`)2: 
 `(a+b+c`)2=`(a+b+c`)`(a+b+c`)=a2+ 
  +ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2=
  =a2+b2+c2+2ab+2ac+
  +2bc 
  Portanto: 

  `(a+b+c`)2=a2+b2+c2+2ab+
 +2ac+2bc. 

  Vejamos alguns exemplos: 
 `(x+y+5`)2=x2+y2+52+
  +2.x.y+2.x.5+2.y.5=x2+ 
  +y2+25+2xy+10x+10y. 
 `(2x-y-1`)2=
  `[2x+`(-y`)+`(-1`)`]2=`(2x`)2+
  +`(-y`)2+`(-1`)2+2.2x`(-y`)+2.
  .2x`(-1`)+2`(-y`)`(-1`)=4x2+
  +y2+1-4xy-4x+2y. 
<p>
Exerccios

<R+>
37. Desenvolva `(a+b+c`)2 a partir desta figura: 
<R->

<F->
  !::::::::::::
  l_-   _    _ _-_
  r:::::w::::w:::w
  l     _    _   _
  l     _    _   _
  r:::::w::::w:::w
  l     _    _   _
  l     _    _   _ 
  l_-   _    _ _-_
  h:::::j::::j:::j

38. Desenvolva: 
a) `(x2+x+6`)2 
b) `(x2-x+6`)2  

<R+>
39. Trs nmeros, *a*, *b* e *c*, apresentam soma a+b+c=1 e soma dos quadrados a2+b2+
  +c2=49. Qual  o valor de ab+ac+bc?  
<324>
<p>
40. Desenvolvendo e reduzindo os termos semelhantes, quais dos polinmios a seguir ficam reduzidos a binmios?  
<F->
a) `(x2+2x-1`)2-
  -`(x2-2x+1`)2 
b) 3-2x`(x-2`)2+
  +2`(x2+x+1`)2
c) `(2x+1`)3-`(x+2`)3-
  -6x`(x2+x-1`)  
<F+>
  
41. Calcule `(3+2+1`)2 a partir da figura. 
<R->

<F->
       !::::::::::::
       l      _    _  _
  3 l      _    _  _
       l      _    _  _
       r::::::w::::w::w
       l      _    _  _
  2 l      _    _  _
       r::::::w::::w::w
    1 l      _    _  _
       h::::::j::::j::j
         3  2 1
<p>
<R+>
42. Desenvolva. 
a) `(x+2y+10`)2 
b) `(2a+b-1`)2 
c) `(x2-x-2`)2 
d) `(x2-4x+5`)2 

43. Calcule `(x+1~x`)3+
  +`(x-1~x`)3. 
44. A soma de trs nmeros reais, *a*, *b* e *c*,  10, e a soma de seus quadrados  46. Calcule a expresso ab+ac+bc.  
45. Dado o sistema x+y+z=5 e xy+yz+zx=-64 qual deve ser o valor de x2+y2+z2?  

46. Calcule. 
a) `(a+b+c`)2-`(a2+b2+c2`)
b) `(x+2`)3-`(x-2`)3  
c) `(x+1`)3-3`(x+1`)2+
  +3`(x+1`)-1
d) `(x2+2x+2`)2+`(x-1`)3 

47. Quanto devemos adicionar a x3+1.000 para obter `(x+10`)3?  
<p>
48. Numa caixa-d'gua cbica cabem 1.000 L (ou 1 m3) de gua. Em outra, cabem 2.000 L (ou 2 m3). Uma terceira caixa tem a aresta igual  soma das arestas das duas primeiras. Quantos litros (ou m3) cabem nesta ltima? Indique o valor exato. Depois, indique um valor aproximado, usando 332^=1,26. 
<R->
<F+>

Desafios

Uma famlia e vrias incgnitas 

  O senhor e a senhora 
 Nascimento tm vrios filhos. 
  Cada filha tem o mesmo nmero de irmos e irms. Cada filho tem o nmero de irms igual ao dobro do nmero de irmos. 
  Quantos filhos e quantas filhas o casal tem? 
<p>
Contando sorteios 

  Observe, os seis cartes numerados. 

<F->
!::::  !::::  !::::
l 2 _  l 3 _  l 5 _
h::::j  h::::j  h::::j

!::::  !::::  !::::
l 6 _  l 9 _  l 13_
h::::j  h::::j  h::::j
<F+>

  Sorteie um carto para base e, em seguida, outro para expoente. A potncia resultante pode ser par ou mpar. 
  Em quantas possibilidades do sorteio a potncia  par? 
<325>

Soma ou diferena de dois cubos 

  Imagine dois nmeros, representados por *a* e *b*. 
<p>
  Os seus cubos so a3 e b3, respectivamente. Assim, a soma dos cubos  a3+b3, enquanto a diferena entre eles  a3-b3. 
  Essas duas expresses apresentam formas fatoradas interessantes. Vamos estud-las. 

<R+>
_`[{um professor pergunta para um aluno: "Como voc representa algebricamente a soma de dois cubos? E a diferena?"_`]
<R->

Fatorao da soma de dois cubos 

  Vamos obter a forma fatorada de a3+b3, partindo do desenvolvimento de `(a+b`)3. 
  Temos: 
 a3+3a2b+3ab2+b3=
  =`(a+b`)3
 a3+b3=`(a+b`)3-3a2b-
  -3ab2
 a3+b3=`(a+b`)3-3ab`(a+b`)
 a3+b3=`(a+b`)`[`(a+b`)2-3ab`]
<p>
 a3+b3=`(a+b`)
  `(a2+2ab+b2-3ab`) 
  Logo: 

  a3+b3=`(a+b`)`(a2-ab+b2`). 

  Voc sempre pode conferir se a fatorao est correta.  s efetuar a multiplicao.

  Observe os exemplos a seguir: 
 x3+1=x3+13=`(x+1`)
  `(x2-x.1+12`)=`(x+1`)
  `(x2-x+1`). 
 8a3+x3=`(2a`)3+x3=
  =`(2a+x`)
  `[`(2a`)2-`(2a`).x+x2`]=
  =`(2a+x`)`(4a2-2ax+x2`). 
 m3+27=m3+33=`(m+3`)
  `(m2-m.3+32`)=`(m+3`)
  `(m2-3m+9`). 

Fatorao da diferena de dois 
  cubos 

  Vamos obter a forma fatorada de a3-b3, partindo do desenvolvimento de `(a-b`)3. 
  Temos:
<F->
a3-3a2b+3ab2-b3=
  =`(a-b`)3
a3-b3=`(a-b`)3+3a2b-
  -3ab2
a3-b3=`(a-b`)3+3ab`(a-b`)
a3-b3=`(a-b`)`[`(a-b`)2+3ab`]
a3-b3=`(a-b`)
  `[a2-2ab+b2+3ab`] 
<F+>
<326>
  Logo: 
 
  a3-b3=`(a-b`)`(a2+ab+b2`). 

  Por exemplo: 
 x3-27=x3-33=`(x-3`)
  `(x2+x.3+32`)=`(x-3`)
  `(x2+3x+9`). 
 1-1.000a3=13-
  -`(10a`)3=`(1-10a`)
  `[12+1.`(10a`)+`(10a`)2`]=
  =`(1-10a`)`(1+10a+100a2`). 
 8a3-1=`(2a`)3-13=
  =`(2a`)3-13=`(2a-1`)
  `[`(2a`)2+2~a.1+12`]=
  =`(2a-1`)`(4a2+2a+1`). 
<p>
Exerccios 

<R+>
<F->
49. Responda s perguntas. 
a) Qual  o cubo de *x*? 
b) Qual  o cubo de 10?  
c) Qual  a forma fatorada de 
  x3+1.000?  
d) Qual  a forma fatorada de 
  x3-1.000?  

50. Fatore: 
a) x3+8 
b) a3+125 
c) a3-1 
d) h3-64 

51. Faa a fatorao completa. 
a) x4-x 
b) a6+2a3+1 
c) a6-1 

52. Calcule a2-1~a+1-a3-
  -1~a-1+a2. 

53. Atenda ao que se pede. 
a) Mostre que `(a+b`)3=a3+
  +b3+3ab`(a+b`). 
<p>
b) Se dois nmeros, *a* e *b*, 
  tm soma a+b=4 e produto ab=2, 
  quanto vale a3+b3? 

54. Se a+b=22 e a2+b2=
  =6, quanto vale o produto ab? 
55. Se x+1~x=11, calcule x2+1~x2. 
56. Se a+1~a=2, quanto vale a3+1~a3? 
57. Simplifique: 
?a2~b-b2~a*~?a~b-2+b~a*
<327>
 
58. Fatore completamente: 
a) 5a3+5 
b) x5+x2
c) m6-2m3+1
d) x6-1.000.000  
e) x6-64  
<F+>
<R->
  
Matemtica em notcia

O balano da balana 

  Uma deciso anunciada h exatamente 200 anos representou, na prtica, o fim do sistema colonial e teve consequncias profundas na histria do Brasil. A abertura dos portos do Pas s naes amigas foi anunciada no dia 28 de janeiro de 1808, por dom Joo VI, uma semana depois de desembarcar em Salvador, aps fugir de Napoleo com a famlia real. A medida, imposta pela 
 Inglaterra, representou o incio da insero brasileira no comrcio mundial. [...] 
  Passados 200 anos da abertura dos portos, o Brasil ainda detm hoje apenas 1,14% do fluxo comercial do planeta. E sonha alcanar uma fatia de 1,25% do comrcio mundial em 2010. Se conseguir o pequeno incremento de 0,11 ponto porcentual, poder ascender a uma posio prxima  da Malsia, que comercializou US$62 bilhes a mais que o Brasil em 2006. 
<p>
  No ano passado, o Brasil movimentou US$281,2 bilhes nos portos, resultado de US$160,6 bilhes em exportaes e de US$120,6 bilhes em importaes. Mas amargou um sinal que tende a se manter nas contas dos prximos anos. 
  Em 2007, o saldo positivo de US$40 bilhes foi US$6,4 bilhes menor que o do ano anterior -- um reflexo do ritmo mais acelerado das compras externas que dos embarques de produtos brasileiros. 
 
<R+>
<F->
_`[{grfico de linhas "Evoluo da balana comercial", adaptado na forma de tabela em trs colunas, contedo a seguir_`]
Informaes:
Comrcio exterior quintuplicou entre 1990 e 2007.
Saldo da balna foi de US$40 bilhes em 2007, mas deve diminuir nos prximos anos com o aumento das importaes.
<p>
Trocas com outros pases crescem, mas o Brasil ainda precisa investir em eficincia.
1 Coluna: Ano;
2 Coluna: Exportao (em milhes de reais);
3 Coluna: Importaes (em milhes de reais).
<F+>
<R->
 
 !:::::::::::::::::::::::::::
 l 1   _ 2      _ 3      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 1990 _ 32      _ 20      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 1991 _ 32      _ 20      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 1992 _ 38      _ 20      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 1993 _ 39      _ 25      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 1994 _ 42      _ 38      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 1995 _ 50      _ 42      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 1996 _ 56      _ 44      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 1997 _ 58      _ 60      _
 h:::::::j::::::::::j::::::::::j
<p>
(Continuao da tabela)
 !:::::::::::::::::::::::::::
 l 1   _ 2      _ 3      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 1998 _ 58      _ 60      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 1999 _ 50      _ 50      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 2000 _ 59      _ 59      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 2001 _ 60      _ 59      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 2002 _ 60      _ 50      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 2003 _ 70      _ 50      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 2004 _ 100     _ 60      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 2005 _ 120     _ 78      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 2006 _ 140     _ 98      _
 r:::::::w::::::::::w::::::::::w
 l 2007 _ 160,649 _ 120,610 _
 h:::::::j::::::::::j::::::::::j
<p>
<R+>
_`[{tabela em trs colunas "Ranking do comrcio mundial (*)", em porcentagem, contedo a seguir_`]
<F->
1 Coluna: Pas;
2 Coluna: Posio;
3 Coluna: Fatia.
Alemanha; 1; 9,2. 
E. Unidos; 2; 8,6. 
China; 3; 8,0.
Japo; 4; 5,4.
Frana; 5; 4,1.
Holanda; 6; 3,8.
Reino Unido; 7; 3,7.
Itlia; 8; 3,4.
Canad; 9; 3,2.
Blgica; 10; 3,1.
Mxico; 15; 2,1.
Sua; 20; 1,2.
Brasil; 24; 1,1.
Polnia; 30; 0,9. 
<R+>
<F->

(*O Estado de S. Paulo*, 28/1/2008.) 

a) Em que ano o Brasil comeou a fazer comrcio exterior?  
<p>
b) No perodo analisado no grfico, em que anos importamos mais do que exportamos?  
c) Em que ano ocorreu o maior saldo da balana comercial (exportaes menos importaes)? De quanto foi esse saldo?  
d) Se em 2007 o Brasil detinha 1,14% do fluxo comercial do planeta, movimentando US$281,2 bilhes, quanto movimentou a Alemanha nesse ano?  
<F+>
<R->
<328>

Desafios

Jogos de palavras 

  Calvin leu o problema to amargurado que pulou uma frase: "Do ponto A v-se o segmento ^c?{b{c* sob 60". 
  Que resposta ento Calvin deveria encontrar? 
<p>
<F->
<R+>
_`[{tirinha "Jogos de palavras", em quatro quadrinhos, descrio a seguir_`]
1 quadrinho: Calvin l: "O ponto A  duas vezes mais dis-
  tante do ponto C do que o ponto B  de A. Se a distncia de B e C  de 5 cm, qual  a distncia do ponto A ao ponto C"?
2 quadrinho: Calvin fica imvel diante do livro onde acabara de ler o problema.
3 quadrinho: Calvin abre a boca e arregala os olhos ainda com o corpo imvel.
4 quadrinho: O menino, com os braos esticados para frente, boca aberta e olhos arregalados, fala: "Os mortos-vivos no precisam resolver jogos de pala-
  vras".
<R->
<F+>

As casas da praa 

  Talita e Las caminham em volta de uma praa, no mesmo sentido, contando as casas ao redor. 
  Porm, elas no comearam a contagem no mesmo lugar. A terceira casa contada por Talita 
corresponde  nona casa contada por Las, e a terceira contada por Las corresponde  dcima oitava da contagem de Talita. 
  Quantas so as casas ao redor da praa?  

<R+>
<F->
Teste seu conhecimento

1. Dois lados de um tringulo medem 5 cm e 6 cm e formam um ngulo de 60. A medida do terceiro lado, em centmetros,  um nmero compreendido entre: 
a) 4,5 e 5
b) 5 e 5,5 
c) 5,5 e 6 
d) 6 e 6,5 

2. Um tringulo de lados 6 cm, 8 cm e 9 cm apresenta: 
a) um ngulo reto 
b) um ngulo obtuso
<p>
c) um ngulo de 60
d) trs ngulos agudos 

3. O seno do ngulo obtuso ^a na figura a seguir : 
<F+>
<R->

<F->
       5
  ccccccccccm
    30   
          
          4
      ^a
       
<F+>

<R+>
<F->
a) 5~8
b) 5~6
c) 5~2 
d) negativo 

4. Dois ngulos de um tringulo medem 30 e 60, e o lado comum a esses ngulos mede 10 cm. Qual  a medida do menor lado do tringulo?
a) 3 cm 
b) 5 cm 
c) 8 cm 
d) 10 cm 
<p>
_`[{para os testes 5 e 6, pea orientao ao professor_`]

<R+>
<F->
5. Na figura _`[no representada_`], a circunferncia de centro C tem raio 5 cm. Sabendo que 2.^c?{p{t*=3.^c?{p{a*, podemos concluir que ^c?{p{b*  igual a:
a) 13 cm 
b) 15 cm 
c) 18 cm
d) 20 cm 

6. Na figura _`[no representada_`], o segmento tangente *x* mede: 
a) 20 
b) 4,5 
c) 5,5 
d) 6 

7. O valor de x3+3x2+3x+1 para x=99 : 
a) 103 
b) 106
<p>
c) 109 
d) 1012 

8. Se `(2+2`)3=a+b2, com *a* e *b* inteiros, ento a soma a+b vale: 
a) 8 
b) 10
c) 14 
d) 16 

9. Calculando `(x2+x-1`)2+
  +`(x2-x+1`)2+`(x2-x-1`)2, obtemos um polinmio cujo termo de grau 2 tem coeficiente igual a: 
a) 1 
b) 3 
c) 5 
d) 9 

10. Simplificando 
  ?x3+y3*~?x+y*-
  -?x3-y3*~?x-y*, obtemos: 
a) 0 
b) 2x2+2y2 
<p>
c) 2xy 
d) -2xy 
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Oitava Parte